TUGAS RANGKAIAN DIGITAL

JAWABAN NO 1












                                                                                                                                 
                                                                                                   JAWABAN NO 2

JAWABAN NO 3

                                                                                                           JAWABAN NO 4

Read more »»  

Cara Memasukkan Gambar.

Memasukkan gambar ke dalam artikel ( postingan ) blog sangat mudah. Kita tinggal mengklik tools "Insert Image" ( Gambar pemandangan ) yang ada di atas kotak penulisan artikel lalu memilih sumber gambar yang ingin dimasukkan kedalam postingan. Untuk sumber gambar yang bisa dimasukkan, blogger menyediakan 5 pilihan. Kita bisa memsukkan gambar ke dalam posting dari hardisk komputer, bisa dari gambar blog, picasa web album, handphone, dan bisa juga dengan memasukkan langsung URL gambar.

Penjelasan selengkapnya, simak tutorial "Cara Memasukkan Gambar ke dalam Postingan" berikut ini :

• Seperti biasa, log in di blogger lalu masuk ke "Post editor" blog.
• Untuk menambahkan gambar, klik di dalam kotak penulisan artikel untuk mulai membuat artikel lalu klik tools "Insert Image" ( gambar pemandangan ) yang ada di atas kotak penulisan artikel.

Gambar 1 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Pilih sumber gambar yang akan dimasukkan kedalam postingan blog. Upload gambar, dari blog, dari Picasa Web Album, dari Handphone, atau dengan memasukkan URL gambar.

Gambar 2 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

1. Upload
Dengan memilih opsi Upload, berarti gambar yang akan di masukkan tersimpan di komputer ( hardisc, flashdick, atau disk ). Cara menggunakannya :

• Pilih opsi "Upload", lalu klik tombol "Pilih File".
• Pilih gambar yang ada di komputer anda lalu klik OPEN

Gambar 3 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Setelah gambarnya muncul, klik tombol "Add Selected".

Gambar 4 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

2. From This Blog
Opsi ini akan menampilkan semua gambar yang telah dimasukkan ke dalam blog, baik gambar yang ada sidebar, footer, ataupun bagian blog lainnya termasuk di artikel lain. Cara menggunakannya :

• Klik Opsi "From This Blog".
• Klik gambar yang akan di masukkan ke dalam postingan blog. lalu klik tombol "Add Selected".

Gambar 5 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

3. From Your Phone
Opsi berfungsi ntuk memasukkan gambar ke dalam postingan dari Handphone. Saya sendiri tidak pernah menggunakan opsi ini karena sepertinya hanya mendukung Android. Karena tidak pernah menggunakan opsinya, saya tidak tahu cara menggunakannya .

4. From a URL

Opsi terakhir ini memungkinkan kita untuk memasukkan gambar yang sudah tersimpan di internet. Baik itu gambar sendiri, maupun gambar milik orang lain. Yang dibutuhkan hanya URL atau alamat gambarnya. Belum tahu di mana melihat URL sebuah gambar / halaman ? baca "Cara Membuat Link". Cara menggunakannya :

• Pilih opsi From a URL lalu masukkan URL gambar pada kotak yang tersedia.
• Setelah gambarnya muncul, klik tombol "Add Selected".

Gambar 6 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

Mengatur Gambar

Setelah memasukkan gambar ke dalam postingan, kadang posisi gambar yang dimasukkan tidak sesuai dengan tempat / posisi yang di inginkan. Untuk memindahkan gambarnya, Drag and Drop ( Klik, tahan, lalu seret ) ke tempat / posisi yang di inginkan. Sampai tahap ini, Artikel yang dilengkapi dengan gambar sudah siap diterbitkan.

Optimalkan Gambar

Selain itu, anda bisa melakukan beberapa trik memasukkan gambar ke dalam postingan berikut ini ( tidak wajib ) agar gambarnya lebih SEO Friendly Caranya : Klik gambar yang telah di masukkan di dalam artikel. Anda akan melihat tulisan "Smal - Medium - Large - X-Large dan lain lain. Klik masing masing tools tersebut untuk setting gambar yang ada di dalam artikel.

Keterangan :

• SMAL ( Kecil ) : Tools ini akan membuat ukuran gambar yang ada di dalam artikel menjadi lebih kecil. Dengan membuat gambar di artikel lebih kecil, artikel akan lebih cepat di load. Banyak pengunjung yang tidak suka dengan blog yang LOLA ( Loading Lama ) termasuk saya . Saat membuka blog yang terlalu lama loading, blognya akan langsung saya tutup lalu membuka blog yang lain. Meskipun gambar di artikel kecil, tapi saat di klik maka akan muncul gambar dalam ukuran sebenarnya. Jangan gunakan tools ini jika anda lebih suka pengunjung meninggalkan blog anda sebelum blog anda sempat terbuka.
• MEDIUM, LARGE, dan X-LARGE : Medium artinya sedang, Large artinya besar, dan X-Large artinya sangat besar. Silahkan pilih sesuai keinginan anda. Mau yang kecil ? Pilih SMAL, mau yang super besar ? Pilih X-Large.
• Original Size : Gambar dalam ukuran sebenarnya. Tools ini akan menampilkan gambar di artikel dalam ukuran sebenarnya.
• Left - Center -Right : Left artinya kiri, Center artinya tengah, dan Right artinya kanan. Silahkan pilih mau memasang gambarnya di sebelah kiri, tengah atau kanan.
• Add Caption : Tools ini akan memberikan tulisan di bawah gambar. Tulisan tersebut bisa di atur sesuai keinginan. Tips : Sebaiknya jadikan Judul Artikel sebagai Caption.
• Properties : Tolls ini akan memberikan tittle dan Alt Tag pada gambar. Untuk menggunakan tools ini, klik pada tulisan properties. Anda akan melihat pop up window seperti gambar di bawah ini : 

Gambar 7 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Title Text adalah tulisan yang muncul saat mouse menyentuh gambar. Silahkan isi kotak di bawah tulisan title text jika ingin memberikan Title pada gambarnya.
• Alt Text adalah Keyword untuk mengoptimasi gambar di hasil pencarian Search Engine. Biasa juga di sebut dengan Alt Tag. Ketikkan keyword atau kata kunci utama artikel pada kotak Alt Text. Tips : Gunakan judul artikel sebagai Alt Tag / Text. Alt Tag bisa ditambahkan secara manual melalui mode Edit HTML, kalau lebih suka pusing, tambahkan Alt Tag melalui mode Edit HTML. .
• Remove : Gunakan tools ini untuk menghapus gambar yang telah dimasukkan ke dalam postingan blog.

Beberapa menit sebelum menerbitkan artikel ini, ternyata ada opsi baru untuk memasukkan gambar ke dalam postingan yaitu melalui "webcam". Karena artikelnya sudah terlanjur jadi dan siap di terbitkan, silahkan pelajari sendiri Opsi ini .

Read more »»  

TUGAS ALJABAR

PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

A.  SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear Dalam Bentuk Matriks

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari   matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

z = 3

X + 0 + 3 = 6

X = 3

 jadi nilai X = 3, Y = 0, Z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

B.  MATRIKS

1.   Operasi dalam matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

Ø  Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Ø  Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1.

2. dan

3. dimana k adalah skalar

4.

Ø  Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.

Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Teorema                 

·   Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.

·   Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

·   Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.

·   Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas

Matriks Segitiga

Teorema

·         Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah scalar

 maka

                                    adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah

                  simetris

APLIKASI

Operasi Baris Elementer (OBE) sendiri adalah operasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya. OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke-i dapat dituliskan dengan :

Dimana c : konstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i

Algoritma :
(1) Masukkan Matrik A dan H
(2) Hitung Matriks Segitiga Bawah
(3) Hitung solusi Matriks A dan H

Listring Program :
/* Contoh soal Metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian Persamaan Linier Serentak
(PLS). Metode Komputasi 2009 */
/* Nama Program : eliminasi_gauss.cpp */
/* Untuk penyelesaian Matriks n x n */
#include
#include
#include
void main()
{
int a=1, b=3, c=5, j=1,
d=2, e=7, f=16, k=4,
g=4, h=14, i=33, l=10;
float A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33, x1, x2, x3, H11, H21, H31;
cout << “\n\nMetode Eliminasi Gauss Matriks untuk PLS\n”;
cout << “========================================\n\n”;
/* Nilai Matriks A (3 x 3) dan H (3 x 1) */
/*********************************************************/
cout << “\nNilai Matriks A (3 x 3)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 3 5 |\n\n”;
cout<<”| 2 7 16 |\n\n”;
cout<<”| 4 14 33 |\n\n”;
cout <<”\nNilai Matriks H (3 x 1)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 |\n\n”;
cout<<”| 4 |\n\n”;
cout<<”| 10 |\n\n”;
cout <<”Tekan Enter untuk lanjutkan proses berikutnya ….\n”;
cout <<”(Matriks A dan H sebelum proses Eliminasi Gauss)\n\n”;
getch();

Read more »»  

TUGAS ALJABAR

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, 

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

          Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

 Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

 SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh

-0,4b - 0,4c = 0

-10a + 21b - 9c = 0

dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 

Lampiran:

1. script Matlab untuk mencari polinomial karakteristik dan nilai eigen

% Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen

clc;

clear all;

A=input('Mariks A = ');

clc;

disp('Matriks A =');

disp(A);

dA=det(A);

[ba,ka]=size(A);

syms L;

for j=1:ka

for i=1:ba

C=A-L*eye(ba);

end

end

disp(C);

disp('polinomial karakteristik matriks A=');

disp(det(C));

disp('nilai eigen matriks A=');

disp(eig(A));

Read more »»  

TUGAS ALJABAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.

 

Bentuk umum: 

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x₁ ….x_n.

Bilangan a₁₁ …..a_mn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b₁ ….b_m juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x₁ …x_n yang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Fungsi Linear :

                        f(x) = ax + b

Persamaan Linear

                        •  ax = b

                        • a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n  = b   (1)

a_i dan b : konstanta

x_i : variabel tak diketahui

Persamaan (1) terdiri dari 1 persamaan dan n variabel tak diketahui

Secara umum, sistem yang terdiri dari m persamaan linear dan n variabel tak diketahui, disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR, mempunyai bentuk

Contoh 1

x + 2y + 3z = 6

            2x – 3y + 2z = 14

            3x + y – z = -2

Þmempunyai solusi :

     x = 1, y = -2, z = 3

x + 2y – 3z = -4

            2x + y – 3z = 4

Þ mempunyai solusi: x = r + 4

                                                                        y = r – 4

                                                            z = r

            dengan r sebarang bil. Real.

Þ Sistem mempunyai banyak solusi

Sistem linier

            x + 2y = 10

            2x – 2y = -4

            3x + 5y = 26

Þ    mempunyai solusi :   x = 2, y = 4

Bandingkan dengan sistem linier

                        x + 2y = 10

                        2x – 2y = -4

                        3x + 5y = 56

            mempunyai solusi :   x = 2, y = 4, y = 10

                        Þ solusi y = 4 dan y = 10

                        Þ sistem tidak mempunyai solusi

                            Skema Sistem persamaan linear

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial  (solusi tak penting) yaitu x₁ = 0, …., x_n = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,

     bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai

     satu solusi?

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

 

                     dengan

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

 

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan   

     faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris  dengan matriks gandengan yang lama.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Contoh:

Suatu sistem persamaan linier:

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

 

Matriks gandengnya adalah:

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah:

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

 

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

 

Hasil terakhir langkah ketiga adalah:

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

 

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

                                                         

                                       yang dengan substitusi mundur akan memberikan

                                                         

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.

Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

Contoh:

Matriks gandeng:

Eliminasi Gauss:

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

 

                              dan  

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

 

    dengan  , dan r £ n

Perhatikan bentuk ini:

a). Jika    dan   sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika  dan  sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika   ataupun    dan  tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi  jika sama dengan nol atau tidak ada.

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika          .

Jika   persamaan akan memberikan banyak solusi.

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

Read more »»