TUGAS RANGKAIAN DIGITAL

Read more »»  

RANGKAIAN GERBANG LOGIKA DAN FUNGSINYA

RANGKAIAN DASAR GERBANG LOGIKA

2.1.1. Gerbang Not (Not Gate)

           “Gerbang NOT atau juga bisa disebut dengan pembalik (inverter) memiliki fungsi membalik logika tegangan inputnya pada outputnya. Sebuah inverter (pembalik) adalah gerbang dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana keadaan keluaranya selalu berlawanan dengan keadaan masukan. Membalik dalam hal ini adalah mengubah menjadi lawannya. Karena dalam logika tegangan hanya ada dua kondisi yaitu tinggi dan rendah atau “1” dan “0”, maka membalik logika tegangan berarti mengubah “1” menjadi "0” atau sebaliknya mengubah nol menjadi satu. Simbul atau tanda gambar pintu NOT ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

2.1.2. GERBANG AND (AND GATE)
       

           Gerbang AND (AND GATE) atau dapat pula disebut gate AND ,adalah suatu rangkaian logika yang mempunyai beberapa jalan masuk (input) dan hanya mempunyai satu jalan keluar (output). Gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Dalam gerbang AND, untuk menghasilkan sinyal keluaran tinggi maka semua sinyal masukan harus bernilai tinggi.

2.1.3. GERBANG OR (OR GATE)

               Gerbang OR berbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah.

2.1.4. Gerbang NAND
 
         Gerbang NAND adalah suatu NOT-AND, atau suatu fungsi AND yang dibalikkan. Dengan kata lain bahwa gerbang NAND akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai tinggi.

2.1.5. Gerbang NOR

        Gerbang NOR adalah suatu NOT-OR, atau suatu fungsi OR yang dibalikkan sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukanya bernilai rendah.

2.1.6. Gerbang X-OR

          Gerbang X-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi atau dengan kata lain bahwa X-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai sama semua.

2.1.7. Gerbang X-NOR

          Gerbang X-NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukan bernilai sama (kebalikan dari gerbang X-OR).

CONTOH PENERAPAN GERBANG LOGIKA

Contoh1: F = A + B.C

Gambar1: Rangkain gerbang logika.

2.2. RANGKAIAN GERBANG KOMBINASI

            “Semua rangkaian logika dapat digolongkan atas dua jenis, yaitu rangkaian kombinasi (combinational circuit) dan rangkaian berurut (sequential circuit). Perbedaan kedua jenis rangkaian ini terletak pada sifat keluarannya. Keluaran suatu rangkaian kombinasi setiap saat hanya ditentukan oleh masukan yang diberikan saat itu. Keluaran rangkaian berurut pada setiap saat, selain ditentukan oleh masukannya saat itu, juga ditentukan oleh keadaan keluaran saat sebelumnya, jadi juga oleh masukan sebelumnya. Jadi, rangkaian berurut tetap mengingat keluaran sebelumnya dan dikatakan bahwa rangkaian ini mempunyai ingatan (memory). Kemampuan mengingat pada rangkaian berurut ini diperoleh dengan memberikan tundaan waktu pada lintasan balik (umpan balik) dari keluaran ke masukan. Secara diagram blok, kedua jenis rangkaian logika ini dapat digambarkan seperti pada Gambar 1.” (Albert Paul Malvino, Ph.D.)

Gambar 3. Model Umum Rangkaian Logika

(a) Rangkaian Kombinasi
(b) Rangkaian Berurut


2.2.1. PERANCANGAN RANGKAIAN KOMBINASI

                “Rangkaian kombinasi mempunyai komponen-komponen masukan, rangkaian logika, dan keluaran, tanpa umpan balik. Persoalan yang dihadapi dalam perancangan (design) suatu rangkaian kombinasi adalah memperoleh fungsi Boole beserta diagram rangkaiannya dalam bentuk susunan gerbang-gerbang. Seperti telah diterangkan sebelumnya, fungsi Boole merupakan hubungan aljabar antara masukan dan keluaran yang diinginkan. Langkah pertama dalam merancang setiap rangkaian logika adalah menentukan apa yang hendak direalisasikan oleh rangkaian itu yang biasanya dalam bentuk uraian kata-kata (verbal). Berdasarkan uraian kebutuhan ini ditetapkan jumlah masukan yang dibutuhkan serta jumlah keluaran yang akan dihasilkan. Masing-masing masukan dan keluaran diberi nama simbolis. Dengan membuat tabel kebenaran yang menyatakan hubungan masukan dan keluaran yang diinginkan, maka keluaran sebagai fungsi masukan dapat dirumuskan dan disederhanakan dengan cara-cara yang telah diuraikan dalam bab-bab sebelumnya.

                Berdasarkan persamaan yang diperoleh ini, yang merupakan fungsi Boole dari pada rangkaian yang dicari, dapat digambarkan diagram rangkaian logikanya Ada kalanya fungsi Boole yang sudah disederhanakan tersebut masih harus diubah untuk memenuhi kendala yang ada seperti jumlah gerbang dan jenisnya yang tersedia, jumlah masukan setiap gerbang, waktu perambatan melalui keseluruhan gerbang (tundaan waktu), interkoneksi antar bagian-bagian rangkaian, dan kemampuan setiap gerbang untuk mencatu (drive) gerbang berikutnya. Harga rangkaian logika umumnya dihitung menurut cacah gerbang dan cacah masukan keseluruhannya. Ini berkaitan dengan cacah gerbang yang dikemas dalam setiap kemasan.

           Gerbang-gerbang logika yang tersedia di pasaran pada umumnya dibuat dengan teknologi rangkaian terpadu (Integrated Circuit, IC). Pemaduan (integrasi) gerbang-gerbang dasar seperti NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR pada umumnya dibuat dalam skala kecil (Small Scale Integration, SSI) yang mengandung 2 sampai 6 gerbang dalam setiap kemasan. Kemasan yang paling banyak digunakan dalam rangkaian logika sederhana berbentuk DIP (Dual- In-line Package), yaitu kemasan dengan pen-pen hubungan ke luar disusun dalam dua baris sejajar. Kemasan gerbang-gerbang dasar umunya mempunyai 14-16 pen, termasuk pen untuk catu daya positif dan nol (Vcc dan Ground). Setiap gerbang dengan 2 masukan membutuhkan 3 pen (1 pen untuk keluaran) sedangkan gerbang 3 masukan dibutuhkan 4 pen. Karena itu, satu kemasan 14 pen dapat menampung hanya 4 gerbang 2 masukan atau 3 gerbang 3 masukan.

            Dalam praktek kita sering terpaksa menggunakan gerbang-gerbang yang tersedia di pasaran yang kadang-kadang berbeda dengan kebutuhan rancangan kita. Gerbang yang paling banyak tersedia di pasaran adalah gerbang-gerbang dengan 2 atau 3 masukan. Umpamanya, dalam rancangan kita membutuhkan gerbang dengan 4 atau 5 masukan dan kita akan mengalami kesulitan memperoleh gerbang seperti itu. Karena itu kita harus mengubah rancangan sedemikian sehingga rancangan itu dapat direalisasikan dengan gerbang-gerbang dengan 2 atau 3 masukan. Kemampuan pencatuan daya masing-masing gerbang juga membutuhkan perhatian. Setiap gerbang mampu mencatu hanya sejumlah tertentu gerbang lain di keluarannya (disebut sebagai fan-out). Ini berhubungan dengan kemampuan setiap gerbang dalam menyerap dan mencatu arus listrik. Dalam perancangan harus kita yakinkan bahwa tidak ada gerbang yang harus mencatu terlalu banyak gerbang lain di keluarannya. Ini sering membutuhkan modifikasi rangakaian realisasi yang berbeda dari rancangan semula. Mengenai karakteristik elektronik gerbang-gerbang logika dibahas dalam Lampiran A.” (Albert Paul Malvino, Ph.D.)

2.3. IMPLEMENTASI RANGKAIAN GERBANG LOGIKA DENGAN GERBANG NAND

2.3.1. Gerbang NAND (NOT And)

  
          “Gerbang NAND dan NOR merupakan gerbanguniversal, artinya hanya dengan menggunakan jenisgerbang NAND saja atau NOR sajadapat menggantikan fungsi dari 3 gerbang dasar yang lain (AND, OR, NOT). Multilevel, artinya: denganmengimplementasikan gerbang NAND atau NOR, akan ada banyak level / tingkatan mulai dari sisitem input sampai kesisi output. Keuntungan pemakaian NAND saja atau NOR saja dalam sebuah rangkaian digital adalah dapat mengoptimalkan pemakaian seluruh gerbang yang terdapat dalam sebuah IC, sehingga menghemat biaya

        Gerbang NAND adalah pengembangan dari gerbang AND. Gerbang ini sebenarnya adalah gerbang AND yang pada outputnya dipasang gerbang NOT. Gerbang yang paling sering digunakan untuk membentuk rangkaian kombinasi adalah gerbang NAND dan NOR, dibanding dengan AND dan OR. Dari sisi aplikasi perangkat luar, gerbang NAND dan NOR lebih umum sehingga gerbang-gerbang tersebut dikenal sebagai gerbang yang “universal”. Gerbang-gerbang NOT, AND dan OR dapat di-substitusi ke dalam bentuk NAND saja, dengan hubungan seperti gambar 2. 

Gambar 4. Substitusi Beberapa Gerbang Dasar Menjadi NAND

Rangkaian Asal Rangkaian Dengan NAND saja

Gambar 5, impelemtasi Gergang NAND

           Untuk mendapatkan persamaan dengan menggunakan NAND saja, maka persamaan asal harus dimodifikasi sedemikian rupa, sehingga hasil akhir yang didapatkan adalah persamaan dengan NAND saja. Gerbang NAND sangat banyak di pakai dalam computer modern dan mengeti pemakaiannya sangat berharga bagi kita, untuk merancang jaringan gerbang NAND ke NAND, gunakan prosedur tabel kombinasi untuk ungkapan jumlah hasil kali,

             Dalam perancangan logika, gerbang logika siskrit tidak selalu digunakan ttapi biasanya beisi banyak gerbang, karena itu, biasanya lebih disukai untuk memanfaatkan satu jenis gerbang, dan bukan campuran beberapa gerbang untuk alasan ini konversi gerbang digunakan untuk menyatukan suatu fungsi gerbang tertentu dengan cara mengombinasikan beberapa gerbang yang bertipe sama, suatu misal implementasi gerbang NAND ke dalam gerbang NO, gerbang AND dan gerbang OR (Kf Ibrahim, “Tehnik Digital”)

             Pertimbangan lain nya dalam impelemtasi fungis boole berkaitan dengan jenis gate yang digunakan, seringkali di rasakan perlu nya untuk mengimplimentasikan fungsi boole dengan hanya menggunakan gate-gate NAND saja, walaupun mungkin tidak merupakan implementasi gate minimum, teknik tersebut memiliki keuntungan dan keteraturan yang dapat menyederhanakan proses pembuatan nya di pabrik. (wiliam steling).

2.4. Decoder

             “Decoder adalah suatu rangkaian logika kombinasional yang mampu mengubah masukan kode biner n-bit ke m-saluran keluaran sedemikian rupa sehingga setiap saluran keluaran hanya satu yang akan aktif dari beberapa kemungkinan kombinasi masukan. Gambar 2.14 memperlihatkan diagram dari decoder dengan masukam n = 2 dan keluaran m = 4 ( decoder 2 ke 4). Setiap n masukan dapat berisi logika 1 atau 0, ada 2N kemungkinan kombinasi dari masukan atau kode-kode. Untuk setiap kombinasi masukan ini hanya satu dari m keluaran yang akan aktif (berlogika 1), sedangkan keluaran yang lain adalah berlogika 0. Beberapa decoder didisain untuk menghasilkan keluaran low pada keadan aktif, dimana hanya keluaran low yang dipilih akan aktif sementara keluaran yang lain adalah berlogika 1. Dari keadaaan aktif keluaranya, decoder dapat dibedakan atas “non inverted output” dan “inverted output”. (David Bucchlah, Wayne McLahan)

Read more »»  

Kuis 1 Aljabar Linear ( 03/10/2012)

Read more »»  

TUGAS RANGKAIAN DIGITAL(GERBANG LOGIKA)

Read more »»  

TUGAS RANGKAIAN DIGITAL

JAWABAN NO 1












                                                                                                                                 
                                                                                                   JAWABAN NO 2

JAWABAN NO 3

                                                                                                           JAWABAN NO 4

Read more »»  

Cara Memasukkan Gambar.

Memasukkan gambar ke dalam artikel ( postingan ) blog sangat mudah. Kita tinggal mengklik tools "Insert Image" ( Gambar pemandangan ) yang ada di atas kotak penulisan artikel lalu memilih sumber gambar yang ingin dimasukkan kedalam postingan. Untuk sumber gambar yang bisa dimasukkan, blogger menyediakan 5 pilihan. Kita bisa memsukkan gambar ke dalam posting dari hardisk komputer, bisa dari gambar blog, picasa web album, handphone, dan bisa juga dengan memasukkan langsung URL gambar.

Penjelasan selengkapnya, simak tutorial "Cara Memasukkan Gambar ke dalam Postingan" berikut ini :

• Seperti biasa, log in di blogger lalu masuk ke "Post editor" blog.
• Untuk menambahkan gambar, klik di dalam kotak penulisan artikel untuk mulai membuat artikel lalu klik tools "Insert Image" ( gambar pemandangan ) yang ada di atas kotak penulisan artikel.

Gambar 1 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Pilih sumber gambar yang akan dimasukkan kedalam postingan blog. Upload gambar, dari blog, dari Picasa Web Album, dari Handphone, atau dengan memasukkan URL gambar.

Gambar 2 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

1. Upload
Dengan memilih opsi Upload, berarti gambar yang akan di masukkan tersimpan di komputer ( hardisc, flashdick, atau disk ). Cara menggunakannya :

• Pilih opsi "Upload", lalu klik tombol "Pilih File".
• Pilih gambar yang ada di komputer anda lalu klik OPEN

Gambar 3 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Setelah gambarnya muncul, klik tombol "Add Selected".

Gambar 4 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

2. From This Blog
Opsi ini akan menampilkan semua gambar yang telah dimasukkan ke dalam blog, baik gambar yang ada sidebar, footer, ataupun bagian blog lainnya termasuk di artikel lain. Cara menggunakannya :

• Klik Opsi "From This Blog".
• Klik gambar yang akan di masukkan ke dalam postingan blog. lalu klik tombol "Add Selected".

Gambar 5 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

3. From Your Phone
Opsi berfungsi ntuk memasukkan gambar ke dalam postingan dari Handphone. Saya sendiri tidak pernah menggunakan opsi ini karena sepertinya hanya mendukung Android. Karena tidak pernah menggunakan opsinya, saya tidak tahu cara menggunakannya .

4. From a URL

Opsi terakhir ini memungkinkan kita untuk memasukkan gambar yang sudah tersimpan di internet. Baik itu gambar sendiri, maupun gambar milik orang lain. Yang dibutuhkan hanya URL atau alamat gambarnya. Belum tahu di mana melihat URL sebuah gambar / halaman ? baca "Cara Membuat Link". Cara menggunakannya :

• Pilih opsi From a URL lalu masukkan URL gambar pada kotak yang tersedia.
• Setelah gambarnya muncul, klik tombol "Add Selected".

Gambar 6 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

Mengatur Gambar

Setelah memasukkan gambar ke dalam postingan, kadang posisi gambar yang dimasukkan tidak sesuai dengan tempat / posisi yang di inginkan. Untuk memindahkan gambarnya, Drag and Drop ( Klik, tahan, lalu seret ) ke tempat / posisi yang di inginkan. Sampai tahap ini, Artikel yang dilengkapi dengan gambar sudah siap diterbitkan.

Optimalkan Gambar

Selain itu, anda bisa melakukan beberapa trik memasukkan gambar ke dalam postingan berikut ini ( tidak wajib ) agar gambarnya lebih SEO Friendly Caranya : Klik gambar yang telah di masukkan di dalam artikel. Anda akan melihat tulisan "Smal - Medium - Large - X-Large dan lain lain. Klik masing masing tools tersebut untuk setting gambar yang ada di dalam artikel.

Keterangan :

• SMAL ( Kecil ) : Tools ini akan membuat ukuran gambar yang ada di dalam artikel menjadi lebih kecil. Dengan membuat gambar di artikel lebih kecil, artikel akan lebih cepat di load. Banyak pengunjung yang tidak suka dengan blog yang LOLA ( Loading Lama ) termasuk saya . Saat membuka blog yang terlalu lama loading, blognya akan langsung saya tutup lalu membuka blog yang lain. Meskipun gambar di artikel kecil, tapi saat di klik maka akan muncul gambar dalam ukuran sebenarnya. Jangan gunakan tools ini jika anda lebih suka pengunjung meninggalkan blog anda sebelum blog anda sempat terbuka.
• MEDIUM, LARGE, dan X-LARGE : Medium artinya sedang, Large artinya besar, dan X-Large artinya sangat besar. Silahkan pilih sesuai keinginan anda. Mau yang kecil ? Pilih SMAL, mau yang super besar ? Pilih X-Large.
• Original Size : Gambar dalam ukuran sebenarnya. Tools ini akan menampilkan gambar di artikel dalam ukuran sebenarnya.
• Left - Center -Right : Left artinya kiri, Center artinya tengah, dan Right artinya kanan. Silahkan pilih mau memasang gambarnya di sebelah kiri, tengah atau kanan.
• Add Caption : Tools ini akan memberikan tulisan di bawah gambar. Tulisan tersebut bisa di atur sesuai keinginan. Tips : Sebaiknya jadikan Judul Artikel sebagai Caption.
• Properties : Tolls ini akan memberikan tittle dan Alt Tag pada gambar. Untuk menggunakan tools ini, klik pada tulisan properties. Anda akan melihat pop up window seperti gambar di bawah ini : 

Gambar 7 : cara memasukkan gambar ke dalam postingan

• Title Text adalah tulisan yang muncul saat mouse menyentuh gambar. Silahkan isi kotak di bawah tulisan title text jika ingin memberikan Title pada gambarnya.
• Alt Text adalah Keyword untuk mengoptimasi gambar di hasil pencarian Search Engine. Biasa juga di sebut dengan Alt Tag. Ketikkan keyword atau kata kunci utama artikel pada kotak Alt Text. Tips : Gunakan judul artikel sebagai Alt Tag / Text. Alt Tag bisa ditambahkan secara manual melalui mode Edit HTML, kalau lebih suka pusing, tambahkan Alt Tag melalui mode Edit HTML. .
• Remove : Gunakan tools ini untuk menghapus gambar yang telah dimasukkan ke dalam postingan blog.

Beberapa menit sebelum menerbitkan artikel ini, ternyata ada opsi baru untuk memasukkan gambar ke dalam postingan yaitu melalui "webcam". Karena artikelnya sudah terlanjur jadi dan siap di terbitkan, silahkan pelajari sendiri Opsi ini .

Read more »»  

TUGAS ALJABAR

PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

A.  SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear Dalam Bentuk Matriks

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari   matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

z = 3

X + 0 + 3 = 6

X = 3

 jadi nilai X = 3, Y = 0, Z = 3

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

B.  MATRIKS

1.   Operasi dalam matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

Ø  Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Ø  Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1.

2. dan

3. dimana k adalah skalar

4.

Ø  Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.

Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Teorema                 

·   Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.

·   Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

·   Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.

·   Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas

Matriks Segitiga

Teorema

·         Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah scalar

 maka

                                    adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah

                  simetris

APLIKASI

Operasi Baris Elementer (OBE) sendiri adalah operasi pengubahan nilai elemen matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya. OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke-i dapat dituliskan dengan :

Dimana c : konstanta pengali dari perbandingan nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i

Algoritma :
(1) Masukkan Matrik A dan H
(2) Hitung Matriks Segitiga Bawah
(3) Hitung solusi Matriks A dan H

Listring Program :
/* Contoh soal Metode Eliminasi Gauss untuk penyelesaian Persamaan Linier Serentak
(PLS). Metode Komputasi 2009 */
/* Nama Program : eliminasi_gauss.cpp */
/* Untuk penyelesaian Matriks n x n */
#include
#include
#include
void main()
{
int a=1, b=3, c=5, j=1,
d=2, e=7, f=16, k=4,
g=4, h=14, i=33, l=10;
float A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33, x1, x2, x3, H11, H21, H31;
cout << “\n\nMetode Eliminasi Gauss Matriks untuk PLS\n”;
cout << “========================================\n\n”;
/* Nilai Matriks A (3 x 3) dan H (3 x 1) */
/*********************************************************/
cout << “\nNilai Matriks A (3 x 3)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 3 5 |\n\n”;
cout<<”| 2 7 16 |\n\n”;
cout<<”| 4 14 33 |\n\n”;
cout <<”\nNilai Matriks H (3 x 1)\n”;
cout << “——————————————\n\n”;
cout<<”| 1 |\n\n”;
cout<<”| 4 |\n\n”;
cout<<”| 10 |\n\n”;
cout <<”Tekan Enter untuk lanjutkan proses berikutnya ….\n”;
cout <<”(Matriks A dan H sebelum proses Eliminasi Gauss)\n\n”;
getch();

Read more »»