TUGAS ALJABAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.

 

Bentuk umum: 

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x₁ ….x_n.

Bilangan a₁₁ …..a_mn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b₁ ….b_m juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x₁ …x_n yang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Fungsi Linear :

                        f(x) = ax + b

Persamaan Linear

                        •  ax = b

                        • a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n  = b   (1)

a_i dan b : konstanta

x_i : variabel tak diketahui

Persamaan (1) terdiri dari 1 persamaan dan n variabel tak diketahui

Secara umum, sistem yang terdiri dari m persamaan linear dan n variabel tak diketahui, disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR, mempunyai bentuk

Contoh 1

x + 2y + 3z = 6

            2x – 3y + 2z = 14

            3x + y – z = -2

Þmempunyai solusi :

     x = 1, y = -2, z = 3

x + 2y – 3z = -4

            2x + y – 3z = 4

Þ mempunyai solusi: x = r + 4

                                                                        y = r – 4

                                                            z = r

            dengan r sebarang bil. Real.

Þ Sistem mempunyai banyak solusi

Sistem linier

            x + 2y = 10

            2x – 2y = -4

            3x + 5y = 26

Þ    mempunyai solusi :   x = 2, y = 4

Bandingkan dengan sistem linier

                        x + 2y = 10

                        2x – 2y = -4

                        3x + 5y = 56

            mempunyai solusi :   x = 2, y = 4, y = 10

                        Þ solusi y = 4 dan y = 10

                        Þ sistem tidak mempunyai solusi

                            Skema Sistem persamaan linear

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial  (solusi tak penting) yaitu x₁ = 0, …., x_n = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,

     bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai

     satu solusi?

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

 

                     dengan

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

 

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan   

     faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris  dengan matriks gandengan yang lama.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Contoh:

Suatu sistem persamaan linier:

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

 

Matriks gandengnya adalah:

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah:

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

 

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

 

Hasil terakhir langkah ketiga adalah:

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

 

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

                                                         

                                       yang dengan substitusi mundur akan memberikan

                                                         

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.

Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

Contoh:

Matriks gandeng:

Eliminasi Gauss:

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

 

                              dan  

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

 

    dengan  , dan r £ n

Perhatikan bentuk ini:

a). Jika    dan   sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika  dan  sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika   ataupun    dan  tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi  jika sama dengan nol atau tidak ada.

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika          .

Jika   persamaan akan memberikan banyak solusi.

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.